viernes, 27 de agosto de 2010

#20 Al estilo de Riemann

Este es el segundo artículo de una trilogía que pienso escribir en torno a la geometría y a la astronomía. Le invito a iniciar un viaje a usted y tres compañeros mas por del espacio. Cada uno poseerá una nave espacial y estará situado para el despegue de tal forma que cada uno se encuentre localizado a noventa grados de separación del otro con respecto a la circunferencia del ecuador. De esta forma encienden sus motores warp y empiezan un viaje en línea recta hasta los confines más alejados del universo donde se irán alejando cada vez más, no solo de la Tierra, sino también unos de otros. Un observador vería que los viajeros forman un cuadrado imaginario que se expande en el espacio mientras las naves se alejan. Pasado un parsec de distancia (3,28 años luz), usted y todos sus compañeros detienen sus naves en sus respectivas posiciones y emiten una señal a uno de sus compañeros más, dando instrucciones de sus condiciones y sus fantásticos descubrimientos. Después de lanzar la señal, dirigen su mirada a algunos de sus compañeros más próximos y esperan la señal que este les envió. Debido a que todos emitieron al mismo tiempo, la diferencia de tiempo entre la emisión de la señal y la llegada de la señal de algún compañero, le ayudara a verificar que distancia dista entre cada uno (tomando en cuenta que todas las señales viajan a la misma velocidad). Este es el lado del cuadrado antes mencionado. Inmediatamente todos los viajeros reciben respuesta, con la más magnífica exposición de sincronización, todas las naves emprenden una vez más el viaje que habían temporalmente suspendido, alejándose unas de otras y de la Tierra. Sin embargo, la práctica de detenerse para verificar las distancias se repite cada parsec de distancia.

Hasta el momento esta imagen mental un poco complicada no nos lleva a nada. Antes de caer en el punto al que queremos llegar, quiero aclarar algunas cosas incomodas acerca de este experimento. Las señales que se envían las naves unas a otras, podrían ser emisiones laser, pero esto supondría que cada una atravesaría una distancia que sería proporcional a la separación de las naves de la Tierra. La distancia de la diagonal del cuadrado es √2 veces uno de sus lados. Esta diagonal es igual a dos veces la distancia de cualquier nave a la Tierra, la cual se encuentra en el centro del cuadrado. Esto supone una separación de 4,6 años luz entre cada nave, lo cual implica que las naves recibirán la señal cada cuatro años con 7 meses. Este es un tiempo que pondría a prueba cualquier paciencia, y solo sería utilizado en recibir una respuesta. Sugiero entonces utilizar naves robots equipadas con motores warp, capaces de viajar lo suficientemente veloz para que los viajeros se pongan en marcha sin desaprovechar sus recursos. En realidad el problema de la comunicación entre las naves se irá incrementando con el paso del tiempo. A una distancia de 2 parsec, el doble de distancia, las naves tendrán una separación de 9,2 años luz, el doble de separación anterior, y a un rayo de luz le tomaría el doble de tiempo completar su jornada. Y debido a este crecimiento proporcional, incluso a naves robot se les haría imposible después de algún tiempo completar la faena. Pero nos lleva al principal punto, el cual es que mientras más nos alejamos de la Tierra, mas nos alejamos del resto de las naves, y es fácil calcular la distancia de las naves si utilizamos la diagonal del cuadrado.

La diagonal de un cuadrado es igual a la hipotenusa de un triangulo rectángulo con catetos iguales, y para todo triangulo la suma de sus ángulos es 180. Este es un teorema que puede deducirse de los 5 Postulados de Euclides, que definieron las leyes de la geometría en el espacio plano, considerado por siglos como el único espacio. Para cualquiera, es totalmente lógico que objetos que se alejen entre si lo hagan en la misma proporción, sin importar la dirección en la que se muevan. Esto no nos sorprende porque la mente humana está habituada a los espacios planos. Aunque de hecho no vivamos en un espacio plano. Supongamos un experimento mental sugerido por el matemático, físico y astrónomo alemán, Johann Carl Friedrich Gauss. Suponga que usted debe plantar un bosque, y decide hacerlo dejando a los arboles en hileras paralelas. Gauss se dio cuenta que si las parcelas eran pequeñas, esta empresa no sería complicada, pero si extendiéramos este campo atreves de largas distancias, las hileras empezarían a converger hacia un punto sobre la Tierra. Este punto seria el polo, donde las líneas de latitud se unen. Y esto se debe a que la Tierra no es un plano infinito, sino más bien de forma más cercana a la esfera. Esto tampoco es completamente correcto, ya que todos sabemos que la forma de la Tierra no es esférica, sino más bien achatada hacia el ecuador. Pero representa una imagen acerca del comportamiento de un objeto en el espacio esférico, por lo menos en dos dimensiones. Y si el universo no fuera plano si no esférico, el último de los postulados de Euclides, el que indica que dos paralelas nunca se cortan, como vimos arriba, no se cumpliría.

¿Y qué pasaría con nuestras naves en el espacio esférico? Bien, supongamos que viajamos de un polo de la Tierra al otro. Usted acompañado de sus tres amigos inicia una carrera muy similar a la descrita más arriba, solo que en vez de viajar en cuatro direcciones atreves del espacio, recorrerán la Tierra en cuatro direcciones desde el polo norte hasta el polo sur. Este viaje sobre la superficie esférica de la Tierra se parecería en un comienzo a un viaje iniciado sobre una superficie plana, con los cuatro compañeros alejándose a razón de la distancia que los separa. Pero muy pronto esto cambiaria, cada vez que se alejaran del polo los cuatro amigos dejarian de alejarse entre ellos de la misma manera. Cuando les tocara verificar sus distancia de separación, en cada lapso notarían que la distancia que se alejan es menor que en el lapso anterior. Esto es debido a que usted se está moviendo sobre el globo, y como sucede con el ejemplo de las plantaciones, los objetos partiendo de un punto pronto tenderán en algún momento a seguir paralelas, algo inverso al experimento de Gauss. En el caso de los viajeros, se continuaran alejando pero con una razón de alejamiento menor, de hecho, pronto ya no podrán alejarse más, se encontraran a la máxima distancia posible entre ellos. Esto es cuando se encuentren en el ecuador y la separación entre dos amigos es πR/2, donde R es el radio de la Tierra. Si el viaje continua, los amigos no se continuarían separando, sino todo lo contrario, estos empezarían a acercarse entre si, hasta que se encontraran en el polo sur, punto de convergencia de su viaje. Si el viaje se hiciera redondo, ósea alrededor de todo el globo, los compañeros volverían a separarse en el polo sur siguiendo sus direcciones y todo terminaría en el punto de partida, el polo norte.

Un universo esférico es un concepto tremendamente difícil de imaginar. La Tierra se aproxima a una esfera tridimensional (aunque en realidad la Tierra no es una esfera), pero el universo representaría un caso de una esfera en cuatro dimensiones. En ella, usted y sus amigos viajarían cada uno en una dirección en línea recta con sus naves espaciales. Con el paso del tiempo, la distancia entre usted y sus amigos iría aumentando, pero en cada lapso en el cual usted verificara este alejamiento no crece con la misma razón que en lapso anterior. En un momento dado la distancia entre los compañeros no podrá aumentar más, usted y sus amigos se encontraran en el “Ecuador de la Cuatriesfera o hiperesfera” (este último término además se aplica a esferas en dimensiones superiores, las cuales son inimaginables para nosotros). Más allá de ese punto en el cuatriecuador, todos se encontrarán acercándose, hasta converger en el polo de nuestra cuatriesfera. Entonces todos podrán compartir unas cervezas y saber que literalmente han recorrido la mitad del Universo.

¿Y si en vez de detenerse cuando vea a sus compañeros, decide que continuara su viaje? Sucedería lo mismo que en el caso de atravesar el polo en la analogía con la Tierra. Los viajeros, en ese caso continuarían su viaje en redondo atreves del otro hemisferio de la cuatriesfera, hasta retornar al punto de partida justo por la retaguardia. Lo mismo ocurriría con un viajero que empezara a moverse en alguna dirección sin parar. Digamos que usted abandona su ciudad por el lado este. Después del viaje en redondo, usted retornaría a la ciudad apareciendo por el lado oeste. Para el viaje atreves de la cuatriesfera, usted y sus compañeros retornarían a la Tierra por las direcciones contrarias de las que partieron. Y este tal vez sea uno de los puntos más fascinantes del universo cuatriesferico, se trata de un universo finito donde cualquier viaje terminara en el mismo punto donde empezó.

El concepto de utilizar diferentes geometrías en el espacio fue introducido por Georg Friedrich Bernhard Riemann, uno de los matemáticos más importantes del siglo diecinueve. Riemann descubrió que, si se negaba el quinto postulado de Euclides, se podría obtener varios tipos de geometrías y espacios. La geometría esférica tiene algunas de las propiedades que discutimos, pero otras geometrías, como la hiperbólica, también son plausibles. En un universo hiperbólico, la separación entre los viajeros aumentaría más rápido que su distancia con respecto a la Tierra. Este es un caso de un tipo de universo infinito donde la geometría es curva. Riemann también imagino universos en donde la curvatura dependiera de la dirección. En ella, mientras los viajeros decidieran viajar en alguna dirección en particular, su separación podría no crecer tan rápido, e incluso, podrían volver a encontrarse. Pero eligiendo alguna otra dirección, los viajeros se separarían más rápido que lo que se alejan de la Tierra. Estos últimos en particular, representarían universos no homogéneos y anisotropicos, donde las leyes de la física no serian las mismas en todos los puntos del espacio.