lunes, 12 de abril de 2010

#15 Geometría y astronomía

Me gustaría empezar unos breves artículos acerca de la geometría y la astronomía, inspirado en la película Agora, que aunque no se estrenó en los cines de nuestro país, pudo disfrutarse gracias a los héroes de la piratería del DVD, que nos bendicen diariamente trayendo a nuestras manos películas que no podríamos conseguir si esperáramos que las autoridades pertinentes, como los cines locales, se encargaran de su distribución. Más que decir que la piratería merece más alabanzas, y seguramente, bendiciones de todos los tipos, que si dedicara un artículo completo a ello, seguramente no tendría espacio en este humilde blog. Y, pasando a la discusión central, aunque debo admitir que la película me gustó (y además renovó mi repudio por todo tipo de religión), también me gustaría platicar de ciertos puntos con los que estoy en desacuerdo, aunque pienso hacerlo con mucho cuidado, debido al más grande respeto que siento por los legendarios griegos.

No pienso charlar acerca de historia, si no más bien en torno a la geometría, mi rama de la matemática favorita. Sin lugar a dudas, cuando aprendemos matemática mediante la geometría, las ideas quedan doblemente plasmadas que si solo estudiamos un montón de ecuaciones con una fuerte dosis de inentendible abstracción. La geometría nos lleva al espacio físico real. Los proyectiles se mueven en parábolas, las gotas de agua caen a la tierra en línea recta, la molécula de ADN es una doble hélice. Esto es más satisfactorio que las ecuaciones de movimiento y las complejas formulas químicas que se utilizan en los cálculos. Pero mas allá de esto, y aunque otras personas puedan opinar que estoy equivocado, creo que la geometría misma es el camino para resolver cualquier problema físico, y de hecho, sin la geometría no podríamos lograrlo.

En el mundo antiguo, la geometría se dividía en antes de Euclides y después de Euclides, ya que es este quien sistematiza el modelo de demostración matemática. Euclides proponía axiomas, verdades absolutas tan obvias que no necesitaban de demostración alguna. A partir de estas, se obtenían los teoremas. Este sistema se mantiene en la matemática hasta nuestros días. Con este formalismo Euclides enuncia cinco postulados que sirven para construir toda la geometría, los cuales hablan acerca del punto, las líneas y los círculos. Sobre los postulados volveremos en los siguientes artículos. Los círculos resultaron de gran interés para los antiguos. Estos eran consideradas estructuras perfectas, y algunas escuelas, como la pitagórica, llevaron este amor al nivel de culto casi religioso. Ellos observaban el movimiento de los cielos y no podían dejar de imaginar que cualquier estrella (incluidas esas llamadas errantes) recorrían una trayectoria perfectamente circular alrededor de la Tierra. A esto hay que aclarar que no todos los antiguos creían en que la Tierra era el centro del universo, como popularizo Aristóteles, un lugar inamovible que veía al resto girar en torno a él. Los mismos pitagóricos ya sospechaban que la Tierra no era más que otro astro (planeta) que orbitaba alrededor del Sol. Pero estas ideas murieron sin lugar a dudas debido a los razonamientos que Aristóteles aludía para refutar el modelo heliocéntrico. Estos razonamientos, bien aunque son incorrectos, están basados en fundamentos lógicos, y no en dogmas religiosos.

Fuera la Tierra la que girara alrededor del Sol o viceversa, de lo que los antiguos no tenían duda es que el movimiento descrito era un círculo. ¿Porque no sería así, si el universo tenia que ser tan perfecto como las hermosas figuras geométricas que sus mentes eran capaces de concebir? Si el caso era el primero, entonces todos los objetos se moverían en orbita circular alrededor del Sol. De lo contrario, los planetas trazaban movimientos circulares muy complejos, llamados epiciclos, alrededor de un punto vacio, y estos a su vez con sus epiciclos mantenían una orbita circular alrededor de la Tierra. Los movimientos de los planetas habían sido descritos mediante ecuaciones que propuso en un inicio Ptolomeo, en su libro Almagesto, y tales ecuaciones eran muy eficientes a costa de pequeñas imperfecciones a la hora de predecir la posición de un planeta. Sin embargo, no creo que ningún antiguo pusiera en duda ni en una mínima forma los movimientos circulares de las orbitas. Con estos conocimientos científicos en mente, la película Agora cuenta la historia de Hipatia, en un momento en el cual la vida del mundo antiguo se encontraba a las puertas del oscurantismo religioso. Hipatia enseñaba en la biblioteca de Alejandría, que para nuestros parámetros modernos, era el CERN del mundo antiguo. En este lugar era que había trabajado Eratostenes, quien había determinado con precisión de kilómetros, el radio de la Tierra (vale decir que los antiguos pensaban que la Tierra era perfectamente esférica, siendo la esfera la extensión tridimensional del circulo). Tenía todo tipo de obras, recopilaciones de siglos de antigüedad, que pronto se perdieron en medio de disputas políticas-religiosas que tuvieron como final la abrupta muerte de la filosofa. Hipatia trabajo en matemáticas, escribiendo un tratado acerca de las cónicas, sobre las que regresaremos pronto; también hizo revisiones a las tablas astronómicas de Ptolomeo, mejorándolas en detalles, lo que comprueba que seguramente que estaba de acuerdo con el modelo geocéntrico. De ninguna manera quiero negar las habilidades de Hipatia, quien tuvo una vida científica tan prolífica como la de cualquier filósofo antiguo, pero no veo el más mínimo motivo para que ella sospechara que el movimiento de los planetas difería del circular. Ni tampoco nada de su obra nos muestra que ella tornara sus investigaciones en esta dirección. Simplemente necesitaba más datos de los que se disponían en aquella época.

Sin embargo, en lo que la película no se equivoca era que Hipatia era una experta en cónicas. Estas son figuras geométricas que se forman al cortar con un plano un cono de formas distintas, y de hecho en AGORA muestra el cono de Apolonio, un cono cortado con el cual se forman las cónicas. Las cónicas son tres, la elipse, la hipérbola y la parábola. La primera se forma al cortar el plano en un ángulo menor al ángulo con el cual el cono se abre. Sería algo así como un círculo más bien achatado. La parábola se obtiene cuando el ángulo es mayor al ángulo del cono, y es una figura muy famosa en matemáticas. Si no hay ángulo entre el eje del cono y el plano, entonces obtenemos la hipérbola. La ecuación fundamental que describe la belleza de las matemáticas de las cónicas es la siguiente:



Donde si h> ab, obtenemos una hipérbola, si h2 < ab, tenemos la elipse. Si h=0 y a=b, entonces obtenemos la ecuación de la circunferencia. Este último caso es también cuando el plano que corta el cono tiene un ángulo de 900 con respecto al eje del cono. El círculo también es considerado un caso especial de la elipse. Una elipse puede formarse, tal como lo hace Hipatia en la película, trazando el contorno alrededor de dos puntos utilizando una cuerda que esta atada a ambos puntos. Estos puntos se conocen como focos, y si ambos focos tienen la misma posición, entonces nuevamente obtenemos un círculo. Durante siglos, el conocimiento de la existencia de las cónicas y su ecuación matemática, fue considerado tan solo una curiosidad, mientras que la única cónica que estuvo presente en la ciencia fue el círculo.

Pasarían 11 siglos, hasta que el astrónomo (y astrologo) alemán, Johannes Kepler heredara (o mas bien, se “apropiara”) de las mediciones que durante años realizara el astrónomo danés Ticho Brahe, con las cuales realizo un intenso estudio de las posiciones de los planetas alrededor del lapso de varios años. Kepler pertenecía a un siglo diferente, el renacimiento había trastocado todos los aspectos de la vida humana, y finalmente la ciencia también seria fuertemente influenciada por las ideas renacentistas. Pronto Galileo proporcionaría pruebas irrefutables del modelo heliocéntrico, y el día que este muriera nacería el más importante científico clásico, Isaac Newton. Tanto Kepler como Newton se preocuparon del movimiento de los planetas. El primero utilizo mediciones para determinar como realmente se movían, en contraste con los filósofos, que solo lo suponían. El segundo lucho por encontrar la base teórica para explicar porque los planetas se movían de esa manera. Kepler descubrió, atraves de las mediciones, que las orbitas de los planetas eran cónicas, pero no circulares. De hecho, la figura que Kepler obtuvo fue la elipse. Esta idea tenia que ser contraproducente. Ni siquiera Copernico, el más famoso heliocentrista, lo había deducido. ¿Por qué una elipse?¿como la naturaleza podría preferir a la indiferente elipse frente al perfecto circulo? Estas preguntas filosóficas (que tuvieron tanta importancia como las religiosas) debieron abrumar a las autoridades científicas de la época. La primera ley de Kepler enunciaba la orbita de los planetas son elípticas y revela que el Sol se encuentra en uno de los focos. Seguramente fue el primer indicio de que el universo era mas complicado que lo que pensaban los antiguos.

Fue Newton y su Gravitación Universal, quien dio una explicación. Newton explicaba que existe una fuerza entre los cuerpos celeste que es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. En pocas palabras, la sencilla ecuación es



La cual es una ecuación con carácter vectorial (la fuerza tiene que estar orientada en alguna dirección). Newton aplico esta ecuación al problema de las orbitas y dedujo de manera teórica que las orbitas debían de ser elípticas, y no solo eso. Podían existir orbitas parabólicas e hiperbólicas, como las de algunos asteroides y cometas. Si la fuerza fuera, no proporcional al cuadrado, si no al cubo a la cuarta, no existirían orbitas, si no que los planetas caerían en espiral hacia el Sol. De hecho, si el factor fuera ligeramente diferente a 2, igualmente no habría ningún tipo de orbita. De esta manera se cerraba un capitulo en la historia de la astronomía. Todavía quedaban muchas dudas, y la geometría tendría relevancia puntual en estos nuevos acontecimientos.